THALES DE MILETO

Thales de Mileto (624 a.C.-547 a.C.)


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Sobresale especialmente porque sus teoremas geométricos, en los que aparece el germen del concepto de demostración, constituyen el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas.

Thales, uno de los siete sabios de Grecia, es también el fundador de la filosofía natural, y busca en el agua el principio y realidad última de todas las cosas.

THALES Y SU ÉPOCA

Thales, de ascendencia fenicia, hijo de Examio y Cleobulina, vino al mundo en aquella ciudad. Aunque no hay unanimidad sobre las fechas exactas de su existencia, lo que parece más probable es que habría nacido en el año 624 a.C. y fallecido en el 547 a.C.

Si bien el nombre de Thales de Mileto es bastante conocido –debido sin duda a su célebre teorema-, en cambio, se sabe muy poco de su vida e incluso de su obra. Hasta tal punto es esto cierto, que el que suele ser llamado teorema de Thales –los segmentos determinados por dos rectas concurrentes cortadas por paralelas son proporcionales- no parece que haya sido de su paternidad. Pero, incluso en el improbable supuesto de que él hubiera sido su descubridor, es prácticamente seguro que no lo habría probado, pues su demostración, nada fácil, aparece por vez primera en el Libro VI de los Elementos de Euclides.


SU OBRA MATEMÁTICA

El interés de Thales por la ciencia posiblemente se originara en sus contactos comerciales con Egipto y Mesopotamia, fruto de los cuales llegó a conocer en buena medida la matemática y la astronomía babilónicas; además, resulta probado que viajó a Egipto y permaneció allí algún tiempo, en el que se inició en los misterios de su religión y aprendió lo que pudo de su geometría, cuyos contenidos trasladaría luego a Grecia. Se le atribuyen cinco teoremas geométricos y la resolución de dos problemas prácticos; unos y otros se enuncian y comentan a continuación.

1) Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.

Este teorema, junto a los tres siguientes, aparece en el Comentario de Proclo. Si bien parece ser que Thales fue el primero en demostrarlo, la palabra “demostrar” no debe ser entendida como lo es actualmente. Según Cantor, lo que posiblemente haría para llegar a esta conclusión fuera dibujar círculos y observar que quedan divididos en sectores circulares iguales por 2, 4, 6, ... diámetros convenientemente trazados (perpendiculares, formando 45º, etc.). Con todo, hay que hacer constar que ni siquiera Euclides probaría este teorema, sino que lo enunciaría como una definición, concretamente la XVII, en el Libro I de los Elementos.

2) Los ángulos de la base de todo triángulo isósceles son iguales.

Conviene precisar que Thales, en realidad, usó el término “semejantes” en vez de “iguales”; lo que parece indicar que no concebía la amplitud del ángulo como una magnitud, sino como una figura que tiene una determinada forma. El teorema aparecería después como la Proposición V del Libro I de los Elementos de Euclides.

3) Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas son iguales.

Aunque Thales, en efecto, descubriera el teorema, seguramente no lo probó de manera rigurosa. Fue Euclides quien lo hizo en su Proposición XV del Libro I de sus Elementos.

4) Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes respectivamente iguales, entonces los triángulos son iguales.

También Eudemo en su Historia afirma que Thales conocía este teorema. De nuevo, figura en los Elementos de Euclides; concretamente en la Proposición XXVI del Libro I
.
5) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

Este teorema, que según parece ya sabían los geómetras de Babilonia y acaso Thales con ocasión de sus viajes a esas tierras, algunos autores lo denominan teorema de Thales. Sorprende, no obstante, que conociera la existencia de infinitos triángulos rectángulos con una hipotenusa común y no se planteara en cambio qué relación guardan los catetos con dicha hipotenusa; máxime cuando es probable que hubiera oído hablar en Egipto del triángulo rectángulo de lados 3, 4, 5.

Hay sin embargo otras opiniones acerca de la paternidad del teorema. La más importante posiblemente sea la de Diógenes Laercio, quien duda si fue Thales o Pitágoras el primero en inscribir un triángulo rectángulo en un círculo. Como anécdota hay que decir que en cualquiera de las dos hipótesis, su autor habría sacrificado un buey debido a la importancia del hallazgo.

Eudemo también atribuye el descubrimiento a los pitagóricos y da a entender que Thales no lo conocía, pues no cree que pudiera llegar a él sin saber previamente que los ángulos de cualquier triángulo suman dos rectos. Cantor, en cambio, presume que primero probaría esta última proposición y luego demostraría el teorema, y basa su argumentación en un Comentario sobre las Cónicas de Apolonio debido a Eutocio. En cualquier caso, ha de entenderse, como ya se ha dicho, que si Thales hubiera demostrado el teorema nunca se trataría de una prueba formal.

6) Determinación de la altura de la pirámide de Keops.

Como es sabido, Thales calculó la altura de la Gran Pirámide de Gizeh a partir de la longitud de la sombra que proyectaba. Hay varias versiones de cómo lo hizo: Diógenes Laercio (tomando como fuente a Jerónimo) afirma que midió su altura observando la longitud de su sombra en el momento en que la sombra de Thales era igual a su altura; Plinio dice lo mismo, aunque en vez de recurrir a la altura y la sombra de Thales, supone que tomó como referencia las de determinados objetos; Plutarco, en fin, relata que usó como elemento auxiliar un bastón colocado verticalmente, y estableció una relación de proporcionalidad entre los lados de los triángulos determinados por la pirámide y su sombra y el bastón y la suya.

La opinión más probable es la primera –que poco difiere de la segunda-, pero, aun dando crédito a la tesis de Plutarco, en realidad su método no iría mucho más allá de los procedimientos técnicos empleados por los egipcios en la medición de pirámides que figuran en el papiro Rhind. En efecto, en estos problemas se distinguen los segmentos ukha-thebt (lado de la base) y piremus (altura), y la razón:

se-qet =
que determina la pendiente de la pirámide (o sea, la cotangente del ángulo diedro formado por una cara lateral y la base); y luego se halla la altura a partir de la base de la pendiente. Thales, en cambio, realizaría su cálculo partiendo de la longitud del bastón y de su sombra y de la longitud de la sombra de la pirámide; aunque, evidentemente, su método resulta equivalente a que se hubiera impuesto que los triángulos rectángulos correspondientes tuvieran la misma pendiente.

7) Cálculo de la distancia de una nave a la costa.

Si bien existen varias hipótesis sobre cuál fue el procedimiento seguido por Thales para hallar la distancia de una nave a la costa, como por ejemplo, el que emplearían siglos después algunos agrimensores para calcular la distancia de un punto a otro inaccesible y que está basado en el teorema 4, la suposición más probable es la que se indica a continuación. Según esa opinión, si la nave se encontraraen un lugar N, Thales se habría subido a una torre AB en la costa, a la orilla del mar, con un aparato formado por dos listones en ángulo recto. Colocado uno de ellos, CD, vertical, en línea recta con AB, y el otro horizontal hacia el mar, lanzaría una visual desde D hacia el barco, la cual determinaría un punto E en su intersección con el listón horizontal. Conocidas las longitudes de AC, CD y CE, por la semejanza de los triángulos CDE y ADN, se tendría entonces, finalmente AN = (AC+CD) •
Ahora bien, más allá de esas aportaciones concretas de Thales, ¿cuál es la valoración de su repercusión en el desarrollo de la matemática?

Para analizar sus implicaciones, tengamos en cuenta en primer lugar que, en sus orígenes, la geometría griega aparece como tributaria de la egipcia, y en menor grado de la babilónica, esencialmente prácticas y dirigidas al cálculo de magnitudes, principalmente en agrimensura, construcción, etc. Con Thales, sin embargo, se empieza a pasar de lo meramente empírico a lo teórico, a la vez que se inicia la idea de demostración, que en un principio es experimental, basada fundamentalmente en la simetría, la visualización, la superposición ...; se trata, pues, de “demostraciones” más convincentes que rigurosas. La geometría de Thales marca, por tanto, el inicio de la geometría como una auténtica ciencia, tal como hoy la concebimos, y emprende la formulación de teoremas, enunciados de manera inmaterial y abstracta y con su correspondiente demostración.

Las características concretas que nos parecen más importantes son las siguientes: 1) suponen auténticos teoremas, o sea, afirmaciones exactas sobre objetos matemáticos, mientras que la geometría prehelénica se limitaba al estudio de propiedades numéricas de figuras particulares; 2) son proposiciones en las que se enuncian propiedades sumamente sencillas, pero inútiles para las necesidades prácticas: su sentido es, pues, muy diferente al de la matemática babilónica y egipcia, generalmente aplicada y de un buen nivel técnico; 3) no se tratan de demostraciones totalmente formales, pues no construye –ni existe entonces- un sistema de axiomas o principios básicos ni, por supuesto, se siguen en sus razonamientos las pautas de un proceso hipotético-deductivo en sentido estricto. A pesar de todo ello, las indudables carencias en el rigor deberían quedar en un segundo plano al lado del significado que globalmente representan sus aportaciones: ser el punto de partida en la transformación de la matemática experimental hacia la matemática como ciencia deductiva.

LA MATEMÁTICA DESPUÉS DE THALES

Los sucesores de Thales, Anaximandro (c 610 a.C.-545 a.C.) y Anaxímenes (c 585 a.C.-528 a.C.), nacen también en Mileto; son, junto a él los tres primeros presocráticos, todos ellos filósofos naturales.

Sin embargo, los dos últimos no hicieron aportaciones a las matemáticas –sólo alguna contribución a la astronomía-, a excepción de la posible influencia del concepto de infinitud de Anaximandro en la muy posterior construcción por Cantor de la noción de transfinito. Por tanto, puede decirse que ninguno de ellos continuó la labor matemática de Thales; es más, se desconoce casi por completo cómo progresó la geometría entre Thales y Pitágoras. Tan sólo se tiene el siguiente testimonio al respecto de Proclo: “Después de Thales, Ameristo ... se encargó del estudio de la geometría ...”, pero no se sabe nada del pretendido geómetra, del que incluso su nombre –Mamerco, según otros- ofrece dudas.

La caída de Mileto provoca el éxodo de los intelectuales hacia el occidente: la Magna Grecia; allí aparece Pitágoras de Samos, nacido hacia el año 570 a.C., quien prosigue y engrandece la obra de Thales, supuesto maestro suyo. A Thales y a Pitágoras, a la cabeza de los matemáticos jónicos y pitagóricos, respectivamente, les cabe el inmenso mérito de haber jugado un papel iniciático en la construcción de la matemática –y en particular de la geometría- como una disciplina formal. Con justicia, son designados uno y otro, respectivamente, el primer matemático y el padre de la matemática


BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

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Fragmentos y testimonios de Tales.
http://www.filosofia.org/cur/pre/talesfyt.htm

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