Área

Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de sus triángulos.

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.




Historia

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antiguedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhaución de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.

Área de figuras planas

Área de un triángulo

El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:



donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, y la fórmula quedaría de la siguiente forma:



donde a y b son los catetos.
Si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.





donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por




Área de un cuadrilátero





• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º; el área sería la multiplicación de dos de sus lados contiguos a y b:




• El rombo, cuyos 4 lados son iguales, tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:





• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados, es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:



• Los paralelogramos en general tienen su área dada por el producto uno de sus lados y su altura respectiva:



• El trapecio (que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos) cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):







• El trapezoide o cuadrilátero totalmente irregular que tiene sus cuatro ángulos diferentes y lados de longitudes desiguales. En este caso el área se puede obtener mediante triangulación siendo:



Siendo:
el ángulo comprendido entre los lados A1 y A2 .
el ángulo comprendido entre los lados B1 y B2.