Perimetrosareas
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martes, 24 de noviembre de 2009
Transformaciones isometricas
Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.
Traslación
La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición, determinada por un vector.
Simetría
Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.
Rotación
Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:
• Un punto denominado centro de rotación.
• Un ángulo
• Un sentido de rotación
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.
Traslación
La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición, determinada por un vector.
Simetría
Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.
Rotación
Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:
• Un punto denominado centro de rotación.
• Un ángulo
• Un sentido de rotación
Circunferencia
¿Qué es una circunferencia?
Concepto: La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Dimensión de la circunferencia:
Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.
Una circunferencia está formada por:
• Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
• Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
• Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
• Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
• Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Concepto: La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Dimensión de la circunferencia:
Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.
Una circunferencia está formada por:
• Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
• Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
• Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
• Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
• Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
lunes, 16 de noviembre de 2009
Perímetro
En matemáticas, pertenece al conjunto 
, es decir, es unidimensional, a diferencia de la superficie que contiene, que pertenece a 
Aplicaciones prácticas
El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando queremos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, tal como césped o fertilizantes.
En el uso militar, el término perímetro define una área geográfica de importancia, como una instalación física o trabajo de la defensiva, pero también puede referirse a una estructura teórica como una defensa completa formada por un grupo pequeño de soldados, el propósito de que es protección mutua de nosotros en lugar de la defensa de territorio real.
Ecuaciones
Polígonos
Lógicamente, el perímetro de un poligono se calcula sumando las longitudes de todos sus lados. Así pues, la fórmula para los triángulos es:
, donde 
,
y
El perímetro es la medida del contorno de una figura geométrica. son las longitudes de cada es el número de lados y es la longitud del lado y lado 4
Círculos
El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:
o
donde:
•
es el perímetro
•
es la constante matemática pi (π = 3.14159265...)
•
es el radio
•
es el diámetro del círculo
Para obtener el perímetro de un círculo se multiplica el diámetro por pi.
En general
Si se considera la distancia desde el centro de un polígono regular a uno de sus vértices (o en el caso de un círculo, su radio), se cumple lo siguiente: a+b+c
• P representa el perímetro,
• r representa el radio
• A representa el área
, es decir, es unidimensional, a diferencia de la superficie que contiene, que pertenece a 
Aplicaciones prácticas
El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando queremos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, tal como césped o fertilizantes.
En el uso militar, el término perímetro define una área geográfica de importancia, como una instalación física o trabajo de la defensiva, pero también puede referirse a una estructura teórica como una defensa completa formada por un grupo pequeño de soldados, el propósito de que es protección mutua de nosotros en lugar de la defensa de territorio real.
Ecuaciones
Polígonos
Lógicamente, el perímetro de un poligono se calcula sumando las longitudes de todos sus lados. Así pues, la fórmula para los triángulos es:
, donde 
,
y
El perímetro es la medida del contorno de una figura geométrica. son las longitudes de cada es el número de lados y es la longitud del lado y lado 4
Círculos
El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:
o
donde:
•
es el perímetro•
es la constante matemática pi (π = 3.14159265...)•
es el radio•
es el diámetro del círculoPara obtener el perímetro de un círculo se multiplica el diámetro por pi.
En general
Si se considera la distancia desde el centro de un polígono regular a uno de sus vértices (o en el caso de un círculo, su radio), se cumple lo siguiente: a+b+c
• P representa el perímetro,
• r representa el radio
• A representa el área
Área
Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de sus triángulos.
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Historia
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antiguedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhaución de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.
Área de figuras planas
Área de un triángulo
El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:
donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, y la fórmula quedaría de la siguiente forma:
donde a y b son los catetos.
Si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.
donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por
Área de un cuadrilátero
• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º; el área sería la multiplicación de dos de sus lados contiguos a y b:
• El rombo, cuyos 4 lados son iguales, tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:
• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados, es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:
• Los paralelogramos en general tienen su área dada por el producto uno de sus lados y su altura respectiva:
• El trapecio (que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos) cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):
• El trapezoide o cuadrilátero totalmente irregular que tiene sus cuatro ángulos diferentes y lados de longitudes desiguales. En este caso el área se puede obtener mediante triangulación siendo:
Siendo:
el ángulo comprendido entre los lados A1 y A2 .
el ángulo comprendido entre los lados B1 y B2.
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Historia
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antiguedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhaución de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.
Área de figuras planas
Área de un triángulo
El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:
donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, y la fórmula quedaría de la siguiente forma:
donde a y b son los catetos.
Si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.
donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por
Área de un cuadrilátero
• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º; el área sería la multiplicación de dos de sus lados contiguos a y b:
• El rombo, cuyos 4 lados son iguales, tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:
• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados, es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:
• Los paralelogramos en general tienen su área dada por el producto uno de sus lados y su altura respectiva:
• El trapecio (que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos) cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):
• El trapezoide o cuadrilátero totalmente irregular que tiene sus cuatro ángulos diferentes y lados de longitudes desiguales. En este caso el área se puede obtener mediante triangulación siendo:
Siendo:
el ángulo comprendido entre los lados A1 y A2 .
el ángulo comprendido entre los lados B1 y B2.
Polígono
Un polígono es una figura geométrica conformada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.
Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.
Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización de un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.
Etimología
La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de poli (πολύς), "muchos" y gonos (γωνία), "ángulo".
Elementos de un polígono
En un polígono podemos distinguir:
• Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
• Ángulo interior y ángulo exterior.
En un polígono regular podemos distinguir, además:
• Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
Clasificación de los polígonos
Polígonos
Nombre Número de lados
monógono 1
dígono 2
triángulo 3
cuadrilátero 4
pentágono 5
hexágono 6
heptágono 7
octágono 8
eneágono 9
decágono 10
endecágono 11
dodecágono 12
tridecágono 13
tetradecágono 14
pentadecágono 15
hexadecágono 16
heptadecágono 17
octodecágono 18
eneadecágono 19
isodecágono 20
triacontágono 30
tetracontágono 40
pentacontágono 50
hexacontágono 60
heptacontágono 70
octacontágono 80
eneacontágono 90
hectágono 100
chiliágono 1.000
miriágono 10.000
megágono 1.000.000
Los tipos de polígonos más conocidos son los polígonos regulares, que son planos, simples, convexos, equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos.
Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta.
Se clasifican por la forma de su contorno:
Polígono
Simple:Convexo o Cóncavo. El Convexo puede ser Regular o Irregular
Complejo
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:
• simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),
• complejo, si dos de sus aristas consecutivas se intersecan;
• convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,
• cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;
• regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,
• irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;
• equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,
• equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.
Un polígono, por la forma de sus lados, se denomina:
• rectilíneo, si todos sus lados son segmentos rectos,
• curvilíneo, si al menos uno de sus lados es un segmento curvo.
polígono simple, convexo, irregular.
polígono complejo, cóncavo, irregular.
polígono convexo, regular (equilátero y equiángulo).
Los polígonos ortogonales o isotéticos, son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.
Poligonal
Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está conformado por una línea poligonal cerrada.
Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.
Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización de un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.
Etimología
La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de poli (πολύς), "muchos" y gonos (γωνία), "ángulo".
Elementos de un polígono
En un polígono podemos distinguir:
• Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
• Ángulo interior y ángulo exterior.
En un polígono regular podemos distinguir, además:
• Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
Clasificación de los polígonos
Polígonos
Nombre Número de lados
monógono 1
dígono 2
triángulo 3
cuadrilátero 4
pentágono 5
hexágono 6
heptágono 7
octágono 8
eneágono 9
decágono 10
endecágono 11
dodecágono 12
tridecágono 13
tetradecágono 14
pentadecágono 15
hexadecágono 16
heptadecágono 17
octodecágono 18
eneadecágono 19
isodecágono 20
triacontágono 30
tetracontágono 40
pentacontágono 50
hexacontágono 60
heptacontágono 70
octacontágono 80
eneacontágono 90
hectágono 100
chiliágono 1.000
miriágono 10.000
megágono 1.000.000
Los tipos de polígonos más conocidos son los polígonos regulares, que son planos, simples, convexos, equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos.
Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta.
Se clasifican por la forma de su contorno:
Polígono
Simple:Convexo o Cóncavo. El Convexo puede ser Regular o Irregular
Complejo
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:
• simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),
• complejo, si dos de sus aristas consecutivas se intersecan;
• convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,
• cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;
• regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,
• irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;
• equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,
• equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.
Un polígono, por la forma de sus lados, se denomina:
• rectilíneo, si todos sus lados son segmentos rectos,
• curvilíneo, si al menos uno de sus lados es un segmento curvo.
polígono simple, convexo, irregular.
polígono complejo, cóncavo, irregular.
polígono convexo, regular (equilátero y equiángulo).
Los polígonos ortogonales o isotéticos, son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.
Poligonal
Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está conformado por una línea poligonal cerrada.
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