martes, 24 de noviembre de 2009

Perimetros y Areas

Transformaciones Isometricas

Transformaciones isometricas

Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

Traslación
La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición, determinada por un vector.





Simetría
Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.


Rotación
Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:
• Un punto denominado centro de rotación.
• Un ángulo
• Un sentido de rotación


Circunferencia

¿Qué es una circunferencia?

Concepto: La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Dimensión de la circunferencia:

Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.
Una circunferencia está formada por:

• Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

• Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.

• Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.

• Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.

• Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.


lunes, 16 de noviembre de 2009

Perímetro

En matemáticas, pertenece al conjunto , es decir, es unidimensional, a diferencia de la superficie que contiene, que pertenece a

Aplicaciones prácticas

El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando queremos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, tal como césped o fertilizantes.

En el uso militar, el término perímetro define una área geográfica de importancia, como una instalación física o trabajo de la defensiva, pero también puede referirse a una estructura teórica como una defensa completa formada por un grupo pequeño de soldados, el propósito de que es protección mutua de nosotros en lugar de la defensa de territorio real.

Ecuaciones

Polígonos

Lógicamente, el perímetro de un poligono se calcula sumando las longitudes de todos sus lados. Así pues, la fórmula para los triángulos es: , donde ,
y

El perímetro es la medida del contorno de una figura geométrica. son las longitudes de cada es el número de lados y es la longitud del lado y lado 4

Círculos

El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:

o



donde:
es el perímetro
es la constante matemática pi (π = 3.14159265...)
es el radio
es el diámetro del círculo

Para obtener el perímetro de un círculo se multiplica el diámetro por pi.

En general

Si se considera la distancia desde el centro de un polígono regular a uno de sus vértices (o en el caso de un círculo, su radio), se cumple lo siguiente: a+b+c



• P representa el perímetro,
• r representa el radio
• A representa el área

Área

Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de sus triángulos.

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.




Historia

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antiguedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhaución de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.

Área de figuras planas

Área de un triángulo

El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:



donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, y la fórmula quedaría de la siguiente forma:



donde a y b son los catetos.
Si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.





donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por




Área de un cuadrilátero





• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º; el área sería la multiplicación de dos de sus lados contiguos a y b:




• El rombo, cuyos 4 lados son iguales, tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:





• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados, es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:



• Los paralelogramos en general tienen su área dada por el producto uno de sus lados y su altura respectiva:



• El trapecio (que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos) cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):







• El trapezoide o cuadrilátero totalmente irregular que tiene sus cuatro ángulos diferentes y lados de longitudes desiguales. En este caso el área se puede obtener mediante triangulación siendo:



Siendo:
el ángulo comprendido entre los lados A1 y A2 .
el ángulo comprendido entre los lados B1 y B2.

Polígono

Un polígono es una figura geométrica conformada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.

Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.
Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización de un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.



Etimología

La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de poli (πολύς), "muchos" y gonos (γωνία), "ángulo".

Elementos de un polígono



En un polígono podemos distinguir:

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
• Ángulo interior y ángulo exterior.

En un polígono regular podemos distinguir, además:

• Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

Clasificación de los polígonos

Polígonos

Nombre Número de lados

monógono 1
dígono 2
triángulo 3
cuadrilátero 4
pentágono 5
hexágono 6
heptágono 7
octágono 8
eneágono 9
decágono 10
endecágono 11
dodecágono 12
tridecágono 13
tetradecágono 14
pentadecágono 15
hexadecágono 16
heptadecágono 17
octodecágono 18
eneadecágono 19
isodecágono 20
triacontágono 30
tetracontágono 40
pentacontágono 50
hexacontágono 60
heptacontágono 70
octacontágono 80
eneacontágono 90
hectágono 100
chiliágono 1.000
miriágono 10.000
megágono 1.000.000

Los tipos de polígonos más conocidos son los polígonos regulares, que son planos, simples, convexos, equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos.
Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta.

Se clasifican por la forma de su contorno:

Polígono

Simple:Convexo o Cóncavo. El Convexo puede ser Regular o Irregular

Complejo


Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:

• simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),
• complejo, si dos de sus aristas consecutivas se intersecan;
• convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,
• cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;
• regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,
• irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;
• equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,
• equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.

Un polígono, por la forma de sus lados, se denomina:

• rectilíneo, si todos sus lados son segmentos rectos,
• curvilíneo, si al menos uno de sus lados es un segmento curvo.


polígono simple, convexo, irregular.


polígono complejo, cóncavo, irregular.


polígono convexo, regular (equilátero y equiángulo).

Los polígonos ortogonales o isotéticos, son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.

Poligonal

Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está conformado por una línea poligonal cerrada.

Teorema de Tales

Existen dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Tales.

Primer Teorema




Una aplicación del Teorema de Tales

Si a un triángulo le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos equidistantes iguales y sus lados son proporcionalmente perpendiculares, es decir, que la igualdad de los cocientes no equivale al paralelismo. Este teorema establece una relación entre el álgebra y la geometría paralela a la teoria de la Pascal.

La primera figura corresponde a medidas algebraicas positivas - los vectores OA, OA', OB y OB' tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d'), y la segunda a cocientes negativos.
Si se aplica el teorema, tenemos además otra consecuencia: si se orienta de la misma manera las dos rectas paralelas (AB) y (A'B'), es decir con el mismo vector, entonces el tercer cociente (de medidas algebraicas): A'B' / AB es igual a los dos anteriores.

A veces se reserva el nombre de teorema de Pitagoras al sentido directo de la equivalencia, y el otro sentido recibe el nombre de recíproca del teorema de Hooke.

Este teorema es un caso como lo hace el particular de los triángulos similares o semejantes.

Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol.
1. Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C
2. Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz) en el mismo instante. = B
3. Medimos la longitud real del mismo cuerpo (lapiz). = A

Y obtenemos donde D es la altura real del árbol.
También se puede relacionar para medir una distancia, cuya finidad no pueda ser medida, y apoyándose en un punto.


Segundo teorema






Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto.

Tales de Mileto

Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Comprobación: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene:
(o 90º).

Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² = C² + C², es decir AB²=CA²+CB².
En conclusión se forma un triángulo rectángulo.

sábado, 7 de noviembre de 2009

THALES DE MILETO

Thales de Mileto (624 a.C.-547 a.C.)


________________________________________
Sobresale especialmente porque sus teoremas geométricos, en los que aparece el germen del concepto de demostración, constituyen el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas.

Thales, uno de los siete sabios de Grecia, es también el fundador de la filosofía natural, y busca en el agua el principio y realidad última de todas las cosas.

THALES Y SU ÉPOCA

Thales, de ascendencia fenicia, hijo de Examio y Cleobulina, vino al mundo en aquella ciudad. Aunque no hay unanimidad sobre las fechas exactas de su existencia, lo que parece más probable es que habría nacido en el año 624 a.C. y fallecido en el 547 a.C.

Si bien el nombre de Thales de Mileto es bastante conocido –debido sin duda a su célebre teorema-, en cambio, se sabe muy poco de su vida e incluso de su obra. Hasta tal punto es esto cierto, que el que suele ser llamado teorema de Thales –los segmentos determinados por dos rectas concurrentes cortadas por paralelas son proporcionales- no parece que haya sido de su paternidad. Pero, incluso en el improbable supuesto de que él hubiera sido su descubridor, es prácticamente seguro que no lo habría probado, pues su demostración, nada fácil, aparece por vez primera en el Libro VI de los Elementos de Euclides.


SU OBRA MATEMÁTICA

El interés de Thales por la ciencia posiblemente se originara en sus contactos comerciales con Egipto y Mesopotamia, fruto de los cuales llegó a conocer en buena medida la matemática y la astronomía babilónicas; además, resulta probado que viajó a Egipto y permaneció allí algún tiempo, en el que se inició en los misterios de su religión y aprendió lo que pudo de su geometría, cuyos contenidos trasladaría luego a Grecia. Se le atribuyen cinco teoremas geométricos y la resolución de dos problemas prácticos; unos y otros se enuncian y comentan a continuación.

1) Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.

Este teorema, junto a los tres siguientes, aparece en el Comentario de Proclo. Si bien parece ser que Thales fue el primero en demostrarlo, la palabra “demostrar” no debe ser entendida como lo es actualmente. Según Cantor, lo que posiblemente haría para llegar a esta conclusión fuera dibujar círculos y observar que quedan divididos en sectores circulares iguales por 2, 4, 6, ... diámetros convenientemente trazados (perpendiculares, formando 45º, etc.). Con todo, hay que hacer constar que ni siquiera Euclides probaría este teorema, sino que lo enunciaría como una definición, concretamente la XVII, en el Libro I de los Elementos.

2) Los ángulos de la base de todo triángulo isósceles son iguales.

Conviene precisar que Thales, en realidad, usó el término “semejantes” en vez de “iguales”; lo que parece indicar que no concebía la amplitud del ángulo como una magnitud, sino como una figura que tiene una determinada forma. El teorema aparecería después como la Proposición V del Libro I de los Elementos de Euclides.

3) Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas son iguales.

Aunque Thales, en efecto, descubriera el teorema, seguramente no lo probó de manera rigurosa. Fue Euclides quien lo hizo en su Proposición XV del Libro I de sus Elementos.

4) Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes respectivamente iguales, entonces los triángulos son iguales.

También Eudemo en su Historia afirma que Thales conocía este teorema. De nuevo, figura en los Elementos de Euclides; concretamente en la Proposición XXVI del Libro I
.
5) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

Este teorema, que según parece ya sabían los geómetras de Babilonia y acaso Thales con ocasión de sus viajes a esas tierras, algunos autores lo denominan teorema de Thales. Sorprende, no obstante, que conociera la existencia de infinitos triángulos rectángulos con una hipotenusa común y no se planteara en cambio qué relación guardan los catetos con dicha hipotenusa; máxime cuando es probable que hubiera oído hablar en Egipto del triángulo rectángulo de lados 3, 4, 5.

Hay sin embargo otras opiniones acerca de la paternidad del teorema. La más importante posiblemente sea la de Diógenes Laercio, quien duda si fue Thales o Pitágoras el primero en inscribir un triángulo rectángulo en un círculo. Como anécdota hay que decir que en cualquiera de las dos hipótesis, su autor habría sacrificado un buey debido a la importancia del hallazgo.

Eudemo también atribuye el descubrimiento a los pitagóricos y da a entender que Thales no lo conocía, pues no cree que pudiera llegar a él sin saber previamente que los ángulos de cualquier triángulo suman dos rectos. Cantor, en cambio, presume que primero probaría esta última proposición y luego demostraría el teorema, y basa su argumentación en un Comentario sobre las Cónicas de Apolonio debido a Eutocio. En cualquier caso, ha de entenderse, como ya se ha dicho, que si Thales hubiera demostrado el teorema nunca se trataría de una prueba formal.

6) Determinación de la altura de la pirámide de Keops.

Como es sabido, Thales calculó la altura de la Gran Pirámide de Gizeh a partir de la longitud de la sombra que proyectaba. Hay varias versiones de cómo lo hizo: Diógenes Laercio (tomando como fuente a Jerónimo) afirma que midió su altura observando la longitud de su sombra en el momento en que la sombra de Thales era igual a su altura; Plinio dice lo mismo, aunque en vez de recurrir a la altura y la sombra de Thales, supone que tomó como referencia las de determinados objetos; Plutarco, en fin, relata que usó como elemento auxiliar un bastón colocado verticalmente, y estableció una relación de proporcionalidad entre los lados de los triángulos determinados por la pirámide y su sombra y el bastón y la suya.

La opinión más probable es la primera –que poco difiere de la segunda-, pero, aun dando crédito a la tesis de Plutarco, en realidad su método no iría mucho más allá de los procedimientos técnicos empleados por los egipcios en la medición de pirámides que figuran en el papiro Rhind. En efecto, en estos problemas se distinguen los segmentos ukha-thebt (lado de la base) y piremus (altura), y la razón:

se-qet =
que determina la pendiente de la pirámide (o sea, la cotangente del ángulo diedro formado por una cara lateral y la base); y luego se halla la altura a partir de la base de la pendiente. Thales, en cambio, realizaría su cálculo partiendo de la longitud del bastón y de su sombra y de la longitud de la sombra de la pirámide; aunque, evidentemente, su método resulta equivalente a que se hubiera impuesto que los triángulos rectángulos correspondientes tuvieran la misma pendiente.

7) Cálculo de la distancia de una nave a la costa.

Si bien existen varias hipótesis sobre cuál fue el procedimiento seguido por Thales para hallar la distancia de una nave a la costa, como por ejemplo, el que emplearían siglos después algunos agrimensores para calcular la distancia de un punto a otro inaccesible y que está basado en el teorema 4, la suposición más probable es la que se indica a continuación. Según esa opinión, si la nave se encontraraen un lugar N, Thales se habría subido a una torre AB en la costa, a la orilla del mar, con un aparato formado por dos listones en ángulo recto. Colocado uno de ellos, CD, vertical, en línea recta con AB, y el otro horizontal hacia el mar, lanzaría una visual desde D hacia el barco, la cual determinaría un punto E en su intersección con el listón horizontal. Conocidas las longitudes de AC, CD y CE, por la semejanza de los triángulos CDE y ADN, se tendría entonces, finalmente AN = (AC+CD) •
Ahora bien, más allá de esas aportaciones concretas de Thales, ¿cuál es la valoración de su repercusión en el desarrollo de la matemática?

Para analizar sus implicaciones, tengamos en cuenta en primer lugar que, en sus orígenes, la geometría griega aparece como tributaria de la egipcia, y en menor grado de la babilónica, esencialmente prácticas y dirigidas al cálculo de magnitudes, principalmente en agrimensura, construcción, etc. Con Thales, sin embargo, se empieza a pasar de lo meramente empírico a lo teórico, a la vez que se inicia la idea de demostración, que en un principio es experimental, basada fundamentalmente en la simetría, la visualización, la superposición ...; se trata, pues, de “demostraciones” más convincentes que rigurosas. La geometría de Thales marca, por tanto, el inicio de la geometría como una auténtica ciencia, tal como hoy la concebimos, y emprende la formulación de teoremas, enunciados de manera inmaterial y abstracta y con su correspondiente demostración.

Las características concretas que nos parecen más importantes son las siguientes: 1) suponen auténticos teoremas, o sea, afirmaciones exactas sobre objetos matemáticos, mientras que la geometría prehelénica se limitaba al estudio de propiedades numéricas de figuras particulares; 2) son proposiciones en las que se enuncian propiedades sumamente sencillas, pero inútiles para las necesidades prácticas: su sentido es, pues, muy diferente al de la matemática babilónica y egipcia, generalmente aplicada y de un buen nivel técnico; 3) no se tratan de demostraciones totalmente formales, pues no construye –ni existe entonces- un sistema de axiomas o principios básicos ni, por supuesto, se siguen en sus razonamientos las pautas de un proceso hipotético-deductivo en sentido estricto. A pesar de todo ello, las indudables carencias en el rigor deberían quedar en un segundo plano al lado del significado que globalmente representan sus aportaciones: ser el punto de partida en la transformación de la matemática experimental hacia la matemática como ciencia deductiva.

LA MATEMÁTICA DESPUÉS DE THALES

Los sucesores de Thales, Anaximandro (c 610 a.C.-545 a.C.) y Anaxímenes (c 585 a.C.-528 a.C.), nacen también en Mileto; son, junto a él los tres primeros presocráticos, todos ellos filósofos naturales.

Sin embargo, los dos últimos no hicieron aportaciones a las matemáticas –sólo alguna contribución a la astronomía-, a excepción de la posible influencia del concepto de infinitud de Anaximandro en la muy posterior construcción por Cantor de la noción de transfinito. Por tanto, puede decirse que ninguno de ellos continuó la labor matemática de Thales; es más, se desconoce casi por completo cómo progresó la geometría entre Thales y Pitágoras. Tan sólo se tiene el siguiente testimonio al respecto de Proclo: “Después de Thales, Ameristo ... se encargó del estudio de la geometría ...”, pero no se sabe nada del pretendido geómetra, del que incluso su nombre –Mamerco, según otros- ofrece dudas.

La caída de Mileto provoca el éxodo de los intelectuales hacia el occidente: la Magna Grecia; allí aparece Pitágoras de Samos, nacido hacia el año 570 a.C., quien prosigue y engrandece la obra de Thales, supuesto maestro suyo. A Thales y a Pitágoras, a la cabeza de los matemáticos jónicos y pitagóricos, respectivamente, les cabe el inmenso mérito de haber jugado un papel iniciático en la construcción de la matemática –y en particular de la geometría- como una disciplina formal. Con justicia, son designados uno y otro, respectivamente, el primer matemático y el padre de la matemática


BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

BOCHNER, S. (1991). El papel de la matemática en el desarrollo de la ciencia. Madrid: Alianza.

BOYER, C. (1968). Historia de la Matemática. Madrid: Alianza.

COLETTE, J. P. (1985). Historia de las matemáticas, Vol. I. Madrid: Siglo XXI.

FARRINGTON, B. (1979). Ciencia griega. Barcelona: Icaria.

Fragmentos y testimonios de Tales.
http://www.filosofia.org/cur/pre/talesfyt.htm

HEATH, T. (1981). A history of greek mathematics, Vol. I. New York: Dover.

HEGEL, G. W. F. (1955). Lecciones sobre la historia de la filosofía, Vol. I. México: Fondo de Cultura Económica.

HIRSCHBERGER, J. (1981). Historia de la filosofía, Tomo I. Barcelona: Herder.

HULL, L. W. H. (1978). Historia y filosofía de la ciencia. Barcelona: Ariel.

viernes, 30 de octubre de 2009

Ángulos entre paralelas y una recta transversal

1) ÁNGULOS CORRESPONDENTES:
Los ángulos 1 y 2 son iguales




2) ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS:
Los ángulos 2 y 3 son iguales




3) ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS:
Los ángulos 1 y 4 son iguales.

jueves, 29 de octubre de 2009

Conceptos relacionados con la geometría

SEGMENTO: es aquella parte de una línea recta que queda entre dos puntos señalados sobre ella.





RAYO: es aquella parte de una línea recta que queda a algún lado de un punto (el extremo) señalado sobre ella.


ÁNGULO: cuando dos rayos se intersectan en sus extremos. El punto de intersección se conoce con el nombre de vértice del ángulo.

EL GRADO: es una unidad de medida cuyo símbolo es º. Por consiguiente hay 360º en una revolución completa. En el sistema internacional de medidas, la unidad de medida angular es el radián.

Los ángulos se pueden dividir en diferentes tipologías tomando como base los grados que tienen. Así, podemos distinguir entre cinco tipos de ángulos.



CLASIFICACIÓN DE LOS ANGULOS

Los ángulos pueden clasificarse según su medida en 5 tipos:

- Ángulo agudo: es aquel que mide más de 0º y menos de 90º
- Ángulo recto: es aquel que mide 90º
- Ángulo extendido: es aquel que mide 180º
- Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90º y menos de 180º
- Ángulo completo: es aquel que mide 360º





ÁNGULO CONVEXO: Es todo ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 180°.

ÁNGULO CÓNCAVO: Es todo ángulo cuya medida es mayor que 180° y menor que 360°.

martes, 27 de octubre de 2009

Conceptos básicos de Geometría

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Cuerpos y Figuras geométricas

NOCIONES GENERALES: CUERPO Y FIGURA GEOMETRICA

CUERPO: En general es todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Una caja, una pelota, un tonel... son cuerpos.

CUERPO GEOMÉTRICO: Es la porción del espacio ocupada por un cuerpo.
El cuerpo geométrico no está; constituido por materia. Al decir que una bola es un cuerpo geométrico prescindimos de si es de madera, de cristal, y sólo nos interesa su forma, su extensión y las propiedades que de su forma y extensión se derivan.
El límite del cuerpo se llama SUPERFICIE. La superficie determina la forma exterior del cuerpo. La delgadísima capa de color que cubre un objeto pintado puede darnos la idea de la superficie.
El límite de la superficie es la LÍNEA. El borde de una hoja de papel es una línea.

PUNTO: Es el límite o extremo de una línea. Pude darnos idea del punto el extremo de una aguja.

FIGURA GEOMÉTRICA:Se da el nombre de figura geométrica a tdo conjunto de líneas, superficies y puntos relacionados entre sí. Las superficies que pueden adaptarse a la superficie del agua en estado de reposo, reciben el nombre de PLANOS. Las seis caras de un dado son superficies planas o simplemente PLANOS. La superficie lateral de un tonel, la superficie de una pelota, no son planos